Question

2．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a₃+a₅=-4．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₄=-1，且2a_n+1=a_n+a_n+2+k（n∈N^*，k∈R），
①证明数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
②?求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出等差数列的公差，由题意列方程组求出首项和公差得答案；
（Ⅱ）①由a₄=-1，且2a_n+1=a_n+a_n+2+k求出k值，进一步变形可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
②利用累加法求数列{a_n}的通项公式．

解答 （Ⅰ）解：∵数列{a_n}是等差数列，
设数列的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{2{a}_{1}+6d=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{n}=-\frac{4}{3}n+\frac{10}{3}$；
（Ⅱ）①证明：由题意，2a₄=a₃+a₅+k，即-2=-4+k，∴k=2，
又a₄=2a₃-a₂-2=3a₂-2a₁-6，∴a₂=3，
由2a_n+1=a_n+a_n+2+2，得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=1为首项，-2为公差的等差数列；
②解：由①知，a_n+1-a_n=-2n+3，
当n≥2时，有a_n-a_n-1=-2（n-1）+3，
于是，a_n-1-a_n-2=-2（n-2）+3，
…
a₃-a₂=-2×2+3，
a₂-a₁=-2×1+3，
叠加得，a_n-a₁=-2[1+2+…+（n-1）]+3（n-1），（n≥2）
∴${a}_{n}=-2×\frac{n（n-1）}{2}+3（n-1）+2=-{n}^{2}+4n-1$，（n≥2）
又当n=1时，a₁=2也适合，
∴${a}_{n}=-{n}^{2}+4n-1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．