Question

10．设函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+4}{x+b}$是奇函数，且f（1）=5．
（1）求a和b的值；
（2）求证：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥4．

Answer 1

分析 （1）由函数在定义域内有意义可得b=0，结合f（1）=5求得a值；
（2）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，从而得到f（x）在（0，+∞）上的最小值，答案可证．

解答 （1）解：函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+4}{x+b}$的定义域为{x|x≠-b}，即f（-b）不存在，
若b≠0，则f（b）有意义，这与f（x）为奇函数矛盾，故b=0．
∵f（1）=5，∴$\frac{a×{1}^{2}+4}{1+0}=5$，解得a=1；
（2）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{{x}_{1}}^{2}+4}{{x}_{1}}-\frac{{{x}_{2}}^{2}+4}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
①若x₁，x₂∈（0，2]，则x₁x₂＜4，于是x₁x₂-4＜0，从而f（x₁）-f（x₂）＞0；
②若x₁，x₂∈[2，+∞），则x₁x₂＞4，于是x₁x₂-4＞0，从而f（x₁）-f（x₂）＜0．
由①②知，函数f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．
∴f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（2）=$\frac{{2}^{2}+4}{2}=4$．
∴f（x）≥4．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，考查了利用函数单调性求函数的最值，训练了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，是中档题．