Question

20．点P在圆O：x²+y²=8上运动，PD⊥x轴，D为垂足，点M在线段PD上，满足$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MD}$．
（Ⅰ） 求点M的轨迹方程；
（Ⅱ） 过点Q（1，$\frac{1}{2}$）作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点，使点Q为弦AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断M线段PD的中点，设M（x，y），则P（x，2y），运用代入法，即可得到所求轨迹方程；
（Ⅱ） 方法一、运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理可得斜率k，由点斜式方程可得直线方程；
方法二、设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B两点在椭圆上，代入椭圆方程，运用作差法和斜率公式，再由点斜式方程可得直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵点M在线段PD上，满足$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MD}$，
∴点M是线段PD的中点，
设M（x，y），则P（x，2y），
∵点P在圆O：x²+y²=8上运动，
则x²+（2y）²=8，
即$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$，
故点M的轨迹方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．                
（Ⅱ） 方法一：当直线l⊥x轴时，由椭圆的对称性可得弦AB的中点在x轴上，
不可能是点Q，这种情况不满足题意．                      
设直线l的方程为$y-\frac{1}{2}=k（x-1）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}-k}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，
可得$（1+4{k^2}）{x^2}+8k（\frac{1}{2}-k）x+4{（\frac{1}{2}-k）^2}-8=0$，
由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{4k-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
由AB的中点为$Q（{1，\frac{1}{2}}）$，可得-$\frac{4k-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=2，
解得$k=-\frac{1}{2}$，
即直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），
则直线l的方程为x+2y-2=0．                  
方法二：当直线l⊥x轴时，由椭圆的对称性可得弦AB的中点在x轴上，
不可能是点Q，这种情况不满足题意．                     
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
A、B两点在椭圆上，
满足 $\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{8}+\frac{{{y_1}^2}}{2}={1_{\;}}_{\;}（1）\\ \frac{{{x_2}^2}}{8}+\frac{{{y_2}^2}}{2}={1_{\;}}_{\;}（2）\end{array}\right.$，
由（1）-（2）可得 $\frac{{{x_1}^2-{x_2}^2}}{8}+\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{2}=0$，
则 $\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=-\frac{1}{4}$，
由AB的中点为$Q（{1，\frac{1}{2}}）$，可得x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，代入上式${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{2}$，
即直线l的方程为$y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}（x-1）$，
∴直线l的方程为x+2y-2=0．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用中点坐标公式和代入法，考查直线的方程的求法，注意运用点差法或韦达定理，考查运算能力，属于中档题．