Question

15．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，且BA⊥AC，AC=4，AB=3，二面角B-A₁C₁-B₁的余弦值为$\frac{3}{5}$，E在线段CC₁上运动（含端点），F在线段AB上运动（含端点）．
（1）若E，F运动到C₁E=1，BF=$\frac{3}{4}$时，求证：EF∥平面A₁C₁B；
（2）若E，F在运动过程中，始终保持$\frac{CE}{AF}$=2，求此种情形下直线EF与平面A₁C₁B所成角的正弦值的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据面面平行的性质定理即可证明EF∥平面A₁C₁B；
（2）若E，F在运动过程中，始终保持$\frac{CE}{AF}$=2，建立空间坐标系，求出对应平面的法向量，利用直线和平面所成角的定义转化为求函数的最值即可．

解答 证明：（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，且BA⊥AC，AC=4，AB=3，
则B₁A₁⊥A₁C₁，则∠B₁A₁B是二面角B-A₁C₁-B₁的平面角，
∵二面角B-A₁C₁-B₁的余弦值为$\frac{3}{5}$，
∴cos∠B₁A₁B=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{B{A}_{1}}$=$\frac{3}{B{A}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，
则BA₁=5，
则BA₁=$\sqrt{B{{A}_{1}}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
若C₁E=1，BF=$\frac{3}{4}$时，
过E作EM∥BC₁，
∵C₁E=1，CC₁=4，
∴$\frac{{C}_{1}E}{C{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，则$\frac{BM}{BC}$=$\frac{{C}_{1}E}{C{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∵BF=$\frac{3}{4}$，AB=3，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\frac{3}{4}}{3}$=$\frac{1}{4}$，
则$\frac{BF}{AB}$=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
则FM∥AC，
则FM∥A₁C₁，FM∥面BA₁C₁，
同理EM∥面BA₁C₁，
∵EM∩MF=M．
∴面EMF∥面BA₁C₁，
∵EF?面EMF，
∴EF∥平面A₁C₁B．
（2）建立以A为原点，以AC，AB，AA₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0）．C（4，0，0），B（0，3，0），A₁（0，0，4）．C₁（4，0，4），B₁（0，3，4），
∵E，F在运动过程中，始终保持$\frac{CE}{AF}$=2，即CE=2AF，
∴设|AF|=a，则|CE|=2a，
由$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤3}\\{0≤2a≤4}\end{array}\right.$，得0≤a≤2，
则F（0，a，0），E（4，0，2a），
$\overrightarrow{EF}$=（-4，a，-2a），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（4，0，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，3，-4），
设平面A₁C₁B的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=4x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=3y-4z=0}\end{array}\right.$，
令y=4，则z=3，x=0，
即$\overrightarrow{n}$=（0，4，3），
设线EF与平面A₁C₁B所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{EF}|}$|=$\frac{2a}{5\sqrt{16+{a}^{2}+4{a}^{2}}}$=$\frac{2a}{5\sqrt{16+5{a}^{2}}}$，
∵0≤a≤2，
∴当a=0时，sinθ=0，
当0＜a≤2，
则sinθ=$\frac{2a}{5\sqrt{16+5{a}^{2}}}$=$\frac{2}{5\sqrt{\frac{16}{{a}^{2}}+5}}$，
∵0＜a≤2，∴$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{2}$，
即当$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$时，即a=2时，sinθ=$\frac{2}{5\sqrt{\frac{16}{{a}^{2}}+5}}$取得最大值，此时sinθ=$\frac{2}{5\sqrt{\frac{16}{{a}^{2}}+5}}$=$\frac{2}{5\sqrt{4+5}}=\frac{2}{5\sqrt{9}}$=$\frac{2}{15}$，
即0≤sinθ≤$\frac{2}{15}$．
即直线EF与平面A₁C₁B所成角的正弦值的取值范围是[0，$\frac{2}{15}$]．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，线面角求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，利用定义法或者建立坐标系，利用向量法是解决空间角常用的方法．在求解过程中利用函数的性质求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．