Question

4．三棱锥P-ABC，底面是边长为2的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为PA上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．
（1）求证：DO∥平面PBC；
（2）求证：BD⊥AC．

Answer 1

分析 （1）连接AO交BC于点E，连接PE，由三角形中心的性质可得AO=2OE，从而DO∥PE，得出线面平行；
（2）由平面PBC⊥平面ABC可得PE⊥平面ABC，由DO∥PE可得DO⊥平面ABC，故DO⊥AC，由三角形中心性质得AC⊥BO，从而AC⊥平面DOB，得出BD⊥AC．

解答 解：（1）连接AO交BC于点E，连接PE，
∵O为正三角形ABC的中心，∴AO=2EO，
又AD=2DP，∴DO∥PE，
∵DO?平面PBC，PE?平面PBC，
∴DO∥平面PBC．
（2）∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，
由（1）知，DO∥PE，∴DO⊥平面ABC，
∴DO⊥AC．连接BO，则AC⊥BO，
又DO∩BO=O，DO?平面DOB，BO?平面DOB，
∴AC⊥平面DOB，∵BD?平面DOB，
∴AC⊥BD．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质，属于基础题．