Question

10．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为$\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点T（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB=90°，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率和最小距离a-c，解方程可得a，c的值，再由隐含条件求得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由已知，以AB为直径的圆与X轴有公共点，联立直线方程与椭圆方程求得|AB|，再由${y}_{0}≤\frac{1}{2}|AB|$列式求得直线l的斜率k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由椭圆的性质可得，a-c=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
解方程可得a=$\sqrt{3}，c=\sqrt{2}$，
则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，
故椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}=1$；
（Ⅱ）由已知，以AB为直径的圆与X轴有公共点，
设A（x₁，y₁），b（x₂，y₂），AB中点M（x₀，y₀）
直线l：y=kx+2代入$\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}=1$，得（3+k²）x²+4kx+1=0，
由△=12k²-12＞0，得k＜-1或k＞1．
${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2k}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+2=\frac{6}{3+{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{12{k}^{2}-12}}{3+{k}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}\sqrt{{k}^{4}-1}}{3+{k}^{2}}$，
由$\frac{6}{3+{k}^{2}}≤\frac{1}{2}|AB|$，得$\frac{6}{3+{k}^{2}}≤\frac{\sqrt{3}\sqrt{{k}^{4}-1}}{3+{k}^{2}}$，
解得k⁴≥13，即k≥$\root{4}{13}$或k≤-$\root{4}{13}$．
∴所求直线l的斜率k的取值范围是k≥$\root{4}{13}$或k≤-$\root{4}{13}$．

点评 本题考查椭圆的性质与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．