Question

13．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是实数，求$\frac{1}{z}$．

Answer 1

分析 设z=a+bi（a，b∈R），由题意列方程组求得a，b的值，得到z，再由$\frac{1}{z}=\overline{z}$求得答案．

解答 解：设z=a+bi（a，b∈R），
由|z|=1，得a²+b²=1，①
又（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=（3a-4b）+（4a+3b）i是实数，
∴4a+3b=0，②
联立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{5}}\\{b=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
∴$z=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$或$z=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$，
则$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^{2}}=\overline{z}$=$\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$或$-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础的计算题．