Question

3．设函数f （x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin2x+2a
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当$x∈[0，\frac{π}{4}]$时，f（x）的最小值为0，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，（{k∈Z}）$，即可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由$0≤x≤\frac{π}{4}$，得$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质可得$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，由f（x）的最小值为0，解得a的值，即可求得f（x）的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+2a=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2a$．…（4分）
∴由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，（{k∈Z}）$，
得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，（{k∈Z}）$，
∴f（x）的单调递增区间为：$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]，（{k∈Z}）$． …（8分）
（2）由$0≤x≤\frac{π}{4}$，得$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
故$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
由f（x）的最小值为0，得$\frac{1}{2}+2a=0$，
解得$a=-\frac{1}{4}$．
故f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．