Question

12．如图，四棱锥S-ABCD底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，点E是SD的中点，F是BC线段上的点，O是AC与BD的交点．
（Ⅰ）求证：OE∥平面SBC；
（Ⅱ）若F为BC的中点，求二面角C-OE-F的大小．

Answer 1

分析 （1）线面平行的判定定理即可得到结论．
（2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）连接OE，
则O是BD的中点，
∵E是SD的中点，
∴OE是△BDS的中位线，
∴OE∥SB，
∵OE?平面SBC，SB?平面SBC，
∴OE∥平面SBC；
（Ⅱ）∵四棱锥S-ABCD底面是正方形，SD⊥平面ABCD，
∴建立以D为坐标原点的空间直角坐标系如图：
若F为BC的中点，
则C（0，2，0），A（2，0，0），O（1，1，0），S（0，0，2），E（0，0，1），B（2，2，0），F（1，2，0），
则$\overrightarrow{OE}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{OF}$=（0，1，0），$\overrightarrow{OC}$=（-1，1，0），
设COE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x-y+z=0}\\{-x+y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则x=1，z=2，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
设OEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OE}=-x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OF}=y=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=0，z=1，即$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=30°，
∵二面角C-OE-F是锐二面角，
∴二面角C-OE-F的大小为30°．

点评 本题主要考查线面平行的判断以及二面角的求解，根据线面垂直的性质定理以及建立坐标系，利用向量法求二面角是解决本题的关键．