Question

2．已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为p²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，定点A（0，-$\sqrt{3}$），F₁，F₂是圆锥曲线C的左、右焦点，直线l经过点F₁且平行于直线AF₂．
（Ⅰ）求圆锥曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）若直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F₁M|•|F₁N|．

Answer 1

分析 （I）根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程，根据焦点坐标计算直线l的倾斜角，令F₁到直线l上一点P的有向线段t为参数写出l的参数方程；，
（II）将直线l的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得出关于t的方程，利用参数得几何意义计算|F₁M|•|F₁N|．

解答 解：（I）∵p²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，∴3ρ²+ρ²sin²θ=12．
∴曲线C的直角坐标方程为3x²+3y²+y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴直线AF₂的斜率k${\;}_{A{F}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$．∴直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$．
在l上任取一点P，设有向线段F₁P的长为t，
则直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（II）将l的参数方程代入曲线的直角坐标方程得$\frac{（-1+\frac{1}{2}t）^{2}}{4}+\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}t）^{2}}{3}=1$，即5t²-4t-12=0．
设M，N对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=-$\frac{12}{5}$．
∴|F₁M|•|F₁N|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数方程的几何意义，属于基础题．