Question

10．已知平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上的动点，点A（1，$\frac{1}{2}$），求线段PA中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）过点Q（0，1）的直线l交椭圆于不相同的两点，当弦长为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得2b=2，即b=1，再由离心率公式可得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设P（m，n），M（x，y），运用中点坐标公式和代入法，即可得到所求轨迹方程；
（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程x²+2y²=2，解得交点的坐标，由两点的距离公式，解方程可得斜率k，进而得到直线方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得2b=2，即b=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²-c²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）设P（m，n），M（x，y），
则$\frac{{m}^{2}}{2}$+n²=1，
由题意可得2x=m+1，2y=n+$\frac{1}{2}$，
即为m=2x-1，n=2y-$\frac{1}{2}$，
可得线段PA中点M的轨迹方程为2（x-$\frac{1}{2}$）²+4（y-$\frac{1}{4}$）²=1；
（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+1，
代入椭圆方程x²+2y²=2，可得（1+2k²）x²+4kx=0，
解得x=0或x=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
即有交点为（0，1）和（-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
则弦长为$\sqrt{\frac{16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+（1-\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{4|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得k=±1，
则直线l的方程为y=x+1或y=-x+1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用两点的距离公式，属于中档题．