Question

1．若不等式ax²+bx+2＞0的解集是{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{3}$}，设二次函数y=ax²+bx+2在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]的最大值为M，最小值为m，则M+m=$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 由条件可知，方程ax²+bx+2=0的两根为$-\frac{1}{2}，\frac{1}{3}$，根据韦达定理即可建立关于a，b的方程组，可解得a=-12，b=-2，从而得到$y=-12（x+\frac{1}{12}）^{2}+\frac{25}{12}$，这样即可得出该二次函数在$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$上的最大值M和最小值m，从而求出M+m的值．

解答 解：根据题意知，方程ax²+bx+2=0的两根为$-\frac{1}{2}，\frac{1}{3}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{b}{a}}\\{-\frac{1}{2}•\frac{1}{3}=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$；
解得a=-12，b=-2；
∴y=-12x²-2x+2=$-12（x+\frac{1}{12}）^{2}+\frac{25}{12}$；
∴$x=-\frac{1}{12}$时，$M=\frac{25}{12}$；$x=\frac{1}{2}$时，m=-2；
∴$M+m=\frac{1}{12}$．
故答案为：$\frac{1}{12}$．

点评 考查一元二次不等式的解集和对应一元二次方程的实数根的关系，韦达定理，以及配方求二次函数最值的方法．