Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=1，若a_n+1+a_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，求a_n．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1+a_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，化为${a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1+a_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，
∴${a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}$=1，
∴数列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等差数列，首项与公差都为1，
∴${a}_{n}^{2}$=1+（n-1）=n，（a_n＞0）．
解得a_n=$\sqrt{n}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．