Question

11．若直线l：y=kx-1与曲线C：y=-$\sqrt{1-{x}^{2}}$+1有2个不同的公共点，则直线l的斜率的取值范围为（　　）

• A． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （-∞，-$\sqrt{3}$）
• D． [-2，$-\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，2]

Answer 1

分析 先将曲线进行化简得到一个圆心是（0，1）的下半圆，直线y=kx-1表示过定点（0，-1）的直线，利用直线与圆的位置关系可以求实数k的取值范围．

解答 解：因为y=-$\sqrt{1-{x}^{2}}$+1，所以x²+（y-1）²=1，此时表示为圆心M（0，1），半径r=1的圆，且为圆的下部分．
直线y=kx-1表示过定点D（0，-1）的直线，
当直线与圆相切时，有圆心到直线kx-y-1=0的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=±$\sqrt{3}$
当直线经过点B（1，1）时，直线DB的斜率为k=2．
当直线经过点A（-1，1）时，直线DB的斜率为k=-2．
所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，
则必有-2≤k＜-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$＜k≤2．
即实数k的取值范围是-2≤k＜-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$＜k≤2．
故选：D．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用以及直线的斜率和距离公式．要注意曲线化简之后是个半圆，而不是整圆，这点要注意，防止出错．