Question

11．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的通项b_n=$\frac{1}{n（{a}_{n}-{2}^{n-1}+2）}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．变形a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{n（{a}_{n}-{2}^{n-1}+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
∴数列{a_n-n}是等比数列，首项为1，公比为2，
∴a_n-n=2^n-1，可得∴a_n=n+2^n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{n（{a}_{n}-{2}^{n-1}+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．