Question

20．已知$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$是夹角为60°的两个单位向量，$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{p}$-2$\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{p}$-3$\overrightarrow{q}$，
（1）求$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$
（2）求证：（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）

Answer 1

分析 （1）先计算$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$，然后按照乘法公式计算数量积；
（2）计算（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）是否为零即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$=cos60°=$\frac{1}{2}$．
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（3$\overrightarrow{p}$-2$\overrightarrow{q}$）•（2$\overrightarrow{p}$-3$\overrightarrow{q}$）=6${\overrightarrow{p}}^{2}$-13$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$+6${\overrightarrow{q}}^{2}$=6-$\frac{13}{2}$+6=$\frac{11}{2}$，
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-1=0，∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于基础题．