Question

19．在平面四边形ABCD中，∠B=∠D=$\frac{3}{4}$∠C=90°，BC=2，AD=3，则CD=3$\sqrt{3}$-4．

Answer 1

分析 延长BC，AD交于点E，则∠E=30°，根据直角三角形的性质可用CD表示出其余各边，利用勾股定理列方程解出CD．

解答 解：延长BC，AD，延长线交于点E．
∵∠B=∠D=$\frac{3}{4}$∠C=90°，∴∠D=120，∠A=60°．∴∠E=30°．
设CD=x，则CE=2x，DE=$\sqrt{3}$x，∴AE=AD+DE=3+$\sqrt{3}$x，BE=BC+CE=2+2x．
∴AB=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3+\sqrt{3}x}{2}$．
∵tanE=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{\frac{3+\sqrt{3}x}{2}}{2+2x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得x=3$\sqrt{3}$-4．
故答案为3$\sqrt{3}$-4．

点评 本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，属于基础题．