Question

9．已知菱形ABCD边长为2．∠BAD=$\frac{π}{3}$．将△ABD沿BD折起．折成二面角A₁-BD-C．则下列说法正确的是（　　）

• A． 当二面角A₁-BD-C为直二面角时．A₁B与CD所成角为$\frac{π}{3}$
• B． 当二面角A₁-BD-C为$\frac{π}{3}$．A₁B与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$
• C． 当V${\;}_{{A}_{1}-BCD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，二面角A₁-BD-C为$\frac{π}{3}$
• D． 当二面角A₁-BD-C为直二面角时．平面A₁BC⊥A₁DC

Answer 1

分析 根据空间直线和平面所成的角以及二面角的定义分别进行求解判断即可．

解答 解：在菱形ABCD，AC⊥BD，
则将△ABD沿BD折起．折成二面角A₁-BD-C后，
A₁E⊥BD，CE⊥BD，
则BD⊥平面A₁EC，
则∠A₁EC是二面角A₁-BD-C的平面角，

A．当二面角A₁-BD-C为直二面角时，∠A₁EC=90°，此时A₁E⊥平面BCD，
取A₁D，A₁C的中点M，N，则MN∥CD，EM∥A₁B，
且MN=EM=1，则A₁C=$\sqrt{{A}_{1}{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{3+3}=\sqrt{6}$，
EN=$\frac{1}{2}$A₁C=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则△A₁EC不是正三角形，则∠EMN≠$\frac{π}{3}$，
即A₁B与CD所成角EMN≠$\frac{π}{3}$，故A错误，

D．连接BN，DM，则BN⊥A₁C，DN⊥A₁C，
则∠BND是平面A₁BC与面A₁DC的二面角的平面角，
∵A₁C=$\sqrt{6}$，CN=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴BN=ND=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
则cos∠BND=$\frac{（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}-4}{2×\frac{\sqrt{10}}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{1}{5}$≠0，
∴∠BND≠90°，即平面A₁BC⊥平面A₁DC不成立，故D错误，
B．当二面角A₁-BD-C为$\frac{π}{3}$．即∠A₁EC=$\frac{π}{3}$时，三角形A₁EC是正三角形，
取CE的中点G，连接A₁G，则A₁G⊥面BCD，
则∠A₁BG是A₁B与平面BCD所成的角，
∵A₁E=$\sqrt{3}$，∴A₁G=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
则sin∠A₁BG=$\frac{{A}_{1}G}{{A}_{1}B}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$，故B正确，


C．设二面角A₁-BD-C的平面角为θ，过A₁作平面BCD的高A₁K
则V${\;}_{{A}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}$S_△BCD•A₁K=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$A₁K=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则A₁K=$\frac{3}{2}$，则sin∠A₁EK=$\frac{{A}_{1}K}{{A}_{1}E}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则∠A₁EK=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
即二面角A₁-BD-C为$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
故D错误，
，
故选：B

点评 本题主要考查空间角的计算，根据空间直线和平面所成角以及空间二面角的定义分别作出对应的平面角是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．