Question

2．椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得tan30°=$\frac{c}{b}$，或tan60°=$\frac{c}{b}$，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由于椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，
是一个含60°角的菱形的四个顶点，
则tan30°=$\frac{c}{b}$，或tan60°=$\frac{c}{b}$，
当$\frac{c}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，即b=$\sqrt{3}$c，即有a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2c，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
当$\frac{c}{b}$=$\sqrt{3}$时，即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，即有a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
可得离心率为$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．