Question

7．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上一点，|PF₁|=2|PF₂|，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则椭圆离心率的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可设|PF₁|=2m，|PF₂|=m，得到a=$\frac{3}{2}m$，再由余弦定理得到c=$\frac{\sqrt{3}}{2}m$，则椭圆离心率可求．

解答 解：如图，
由题意可设|PF₁|=2m，|PF₂|=m，
∵∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，∴$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=4{m}^{2}+{m}^{2}-2•2m•m•cos\frac{π}{3}$=5m²-2m²=3m²，
则|F₁F₂|=$\sqrt{3}m$．
则由椭圆的定义可得3m=2a，即a=$\frac{3}{2}m$，
又2c=$\sqrt{3}m$，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}m$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}m}{\frac{3}{2}m}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，在解决与焦点三角形有关的问题时，常采用椭圆定义及余弦定理求解，是中档题．