Question

2．设a，b∈R，函数f（x）=ax²+lnx+b的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）证明：f（x）＜x³-2x²．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求出切线的斜率和切点，可得f（x）的解析式，求出单调区间、极值和最值；
（2）设出h（x）=f（x）-（x³-2x²），求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，进而得到证明．

解答 解：（1）∵$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}$，
由在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=2a+1=-1\\ f（1）=a+b=-\frac{5}{4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
∴$f（x）=-{x^2}+lnx-\frac{1}{4}$．
$f'（x）=\frac{{1-2{x^2}}}{x}$，令f'（x）=0，得$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
令f′（x）＞0，得$0＜x＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此时f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，得$x＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此时f（x）单调递减．
∴$f{（x）_{max}}=f（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）=-\frac{3+2ln2}{4}$．                                          
（2）证明：设$h（x）=f（x）-{x^3}+2{x^2}=-{x^3}+{x^2}+lnx-\frac{1}{4}$，$h'（x）=-3{x^2}+2x+\frac{1}{x}=-\frac{{3{x^2}-2{x^2}-1}}{x}=-\frac{{3{x^2}-3{x^2}+{x^2}-1}}{x}=-\frac{{（{3{x^2}+x+1}）（{x-1}）}}{x}$，
令h′（x）=0，得x=1，
令h′（x）＞0，得0＜x＜1，此时h（x）单调递增；
令h′（x）＜0，得x＞1，此时h（x）单调递减．
∴$h{（x）_{极大}}=h{（x）_{max}}=h（1）=-\frac{1}{4}＜0$，
∴h（x）＜0．
从而f（x）＜x³-2x²．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，求出最值，考查运算能力，属于中档题．