Question

10．已知函数$f（x）=\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）求函数$f（x）=\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）$的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性、值域，得出结论．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求得函数的单调区间．

解答 解：（1）根据函数$f（x）=\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）$，x∈R，可得周期T=2π，且 $y∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，可得函数的单调增区间为：[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得2kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，可得函数的单调减区间为：[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、值域，正弦函数的单调性，属于基础题．