Question

1．已知函数f（x）=log₉（9^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）=$\frac{1}{2}$x+b有实数根，求b的取值范围；
（3）设h（x）=log₉（a•3^x-$\frac{4}{3}$a），若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的性质、对数的运算性质即可得出；
（2）由题意知方程log₉（9^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+b有实数根，即方程log₉（9^x+1）-x=b有解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b有交点．再利用函数的单调性即可得出．
（3）由题意知方程${3}^{x}+\frac{1}{{3}^{x}}$=a•3^x-$\frac{4}{3}a$有且只有一个实数根．令3^x=t＞0，则关于t的方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}at$-1=0，（记为（*））有且只有一个正根．对a与△分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵y=f（x）为偶函数，∴?x∈R，则f（-x）=f（x），
即 $lo{g}_{9}（{9}^{-x}+1）$-kx=log₉（9^x+1）+kx（k∈R），对于?x∈R恒成立．
于是2kx=$lo{g}_{9}（{9}^{-x}+1）$-log₉（9^x+1）=$lo{g}_{9}\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$-$lo{g}_{9}（{9}^{x}+1）$=-x恒成立，
而x不恒为零，∴k=-$\frac{1}{2}$．
（2）由题意知方程log₉（9^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+b有实数根，
即方程log₉（9^x+1）-x=b有解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b有交点．
∵g（x）=$lo{g}_{9}\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$=$lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{x}}）$，
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则$0＜{9}^{{x}_{1}}＜{9}^{{x}_{2}}$，从而$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}＜\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$．
于是$lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}）$＞$lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}）$，即g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在R上是单调减函数．
∵$1+\frac{1}{{9}^{x}}$＞1，
∴g（x）=$lo{g}_{9}（1+\frac{1}{{9}^{x}}）$＞0．
∴b的取值范围是（0，+∞）．
（3）由题意知方程${3}^{x}+\frac{1}{{3}^{x}}$=a•3^x-$\frac{4}{3}a$有且只有一个实数根．
令3^x=t＞0，则关于t的方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}at$-1=0，（记为（*））有且只有一个正根．
若a=1，则t=-$\frac{3}{4}$，不合，舍去； 
若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正跟．
由△=0，可得a=$\frac{3}{4}$或-3；但a=$\frac{3}{4}$⇒t=-$\frac{1}{2}$，不合，舍去；而a=-3⇒t=$\frac{1}{2}$；
方程（*）的两根异号?（a-1）（-1）＜0?a＞1．
综上所述，实数a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．