Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，其左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF₂的周长为4$\sqrt{5}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线x=ty+m交椭圆于不同两点C，D，若以线段CD为直径的圆过原点O，求|CD|的取值范围．

Answer 1

分析 （2）当直线OC的斜率不存在或斜率为0时，可得|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{6}$．当直线OC的斜率存在时，设直线OC的方程为y=kx（k≠0），直线OD的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x联立椭圆方程，解得x²，y²．可得|OC|²=x²+y²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．同理可得|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$．可得|CD|²=|OC|²+|OD|²，求得最小值，即可得出范围．

解答 解：（1）由椭圆的定义可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
即有△ABF₂的周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|
=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=4$\sqrt{5}$，可得a=$\sqrt{5}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得c=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1；
（2）当直线OC的斜率不存在或斜率为0时，
可得|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
当直线OC的斜率存在时，
设直线OC的方程为y=kx（k≠0），直线OD的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{5}{1+5{k}^{2}}$，y²=$\frac{5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．
∴|OC|²=x²+y²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．
同理可得|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$．
∴|CD|²=|OC|²+|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$+$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$=$\frac{30（1+{k}^{2}）^{2}}{5{k}^{4}+26{k}^{2}+5}$
=$\frac{30}{5+\frac{16}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}$≥$\frac{10}{3}$，当k²=1时取等号．
∴|CD|≥$\frac{\sqrt{30}}{3}$．
综上可得，$\frac{\sqrt{30}}{3}$≤|CD|≤$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、勾股定理、直角三角形的面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．