Question

19．已知f（θ）=sin²θ+sin²（θ+α）+sin²（θ+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数，试问α，β取何值时f（θ）是与θ无关的定值．

Answer 1

分析 使用二倍角公式化简f（x），令含θ的三角函数的系数为0列方程，根据α，β的范围求出．

解答 解：f（θ）=sin²θ+sin²（θ+α）+sin²（θ+β）=$\frac{1-cos2θ}{2}$+$\frac{1-cos（2θ+2α）}{2}$+$\frac{1-cos（2θ+2β）}{2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2θ（1+cos2α+cos2β）+$\frac{1}{2}$sin2θ（sin2α+sin2β）．
∵f（θ）是与θ无关的定值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+cos2α+cos2β=0}\\{sin2α+sin2β=0}\end{array}\right.$，∴cos2α=cos2β=-$\frac{1}{2}$，
∵0≤α≤β≤π，∴2α=$\frac{2π}{3}$，2β=$\frac{4π}{3}$，
∴α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，三角函数的图象与性质，属于中档题．