Question

2．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为45°，对于任意实数t，|$\overrightarrow{b}$+t$\overrightarrow{a}$|的最小值$\sqrt{10}$，则|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意利用两个向量的数量积的定义，结合二次函数的性质求得它的最小值．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为45°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{b}$|cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{b}$|，
对于任意实数t，|$\overrightarrow{b}$+t$\overrightarrow{a}$|的最小值$\sqrt{10}$，
∴|$\overrightarrow{b}$+t$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow{b}$|²+t²|$\overrightarrow{a}$|²+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=t²+$\sqrt{2}$t|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{b}$|²=（t+$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{b}$|）²+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{b}$|²，
∴当t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{b}$|时，有最小值为$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{b}$|²=10，
∴|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{5}$
故答案为：2$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，二次函数的性质，属于中档题