Question

14．已知在正三陵拄A₁B₁C₁-ABC（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，D、E分别是棱BC、CC₁的中点，AB=AA₁=2．
（1）证明：BE⊥AB₁；
（2）求二面角B-AB₁-D的大小．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理即可证明BE⊥AB₁；
（2）根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角B-AB₁-D的大小．

解答 （1）证明：∵在正三陵拄A₁B₁C₁-ABC（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，D、E分别是棱BC、CC₁的中点，
∴AD⊥BC，AD⊥面BCC₁B₁，
则AD⊥BE，
∵AB=AA₁=2，
∴△B₁BD≌△BCE，
则BE⊥B₁D，
∵AD∩B₁D=D，
∴BE⊥面ADB₁，
∵AB₁?面ADB₁，
∴BE⊥AB₁；
（2）设BE∩B₁D=O，
由（1）得BE⊥面ADB₁，
取AB₁的中点F，连接BF，
∵侧面为正方形，
∴BF⊥AB₁，连接OF，
则OF⊥AB₁，
即∠OFB是二面角B-AB₁-D的平面角，
∵AB=AA₁=2．
∴BF=$\sqrt{2}$，BD=1，
DB₁=$\sqrt{B{{B}_{1}}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
则OB=$\frac{B{B}_{1}•BD}{{B}_{1}D}=\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
则sin∠OFB=$\frac{OB}{BF}$=$\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即∠OFB=arcsin$\frac{\sqrt{10}}{5}$
即二面角B-AB₁-D的大小为arcsin$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查空间直线和直线垂直的证明以及二面角的求解，根据线面垂直的性质定理，以及二面角的平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．