Question

1．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*，数列{b_n}满足b₁=2，b₄=31，且{b_n-a_n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*，利用等比数列的通项公式即可得出a_n．由于数列{b_n}满足b₁=2，b₄=31，且{b_n-a_n}为等差数列，设公差为d．可得3d=（b₄-a₄）-（b₁-a₁），解得d．即可得出b_n．
（II）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为3，∴a_n=3^n-1．
∵数列{b_n}满足b₁=2，b₄=31，且{b_n-a_n}为等差数列，设公差为d．
∴3d=（b₄-a₄）-（b₁-a₁）=（31-3³）-（2-1）=3，解得d=1．
∴b_n-a_n=1+（n-1）=n，∴b_n=n+3^n-1．
（II）数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{{n}^{2}+n+{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．