Question

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinA=3asinC，cosA=$\frac{2}{3}$，
（Ⅰ）若b=3，求a的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=$\sqrt{5}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，根据a不为0得到b=3c，把b的值代入求出c的值，利用余弦定理表示出cosA，将各自的值代入即可求出a的值；
（Ⅱ）利用平方关系求出sinA，结合三角形面积求出b，c的值，再由余弦定理求得a，最后由正弦定理求得sinB的值．

解答 解：（Ⅰ）利用正弦定理化简bsinA=3asinC，得：ab=3ac，
∵a≠0，∴b=3c，
把b=3代入得：c=1，
由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9+1-{a}^{2}}{6}$=$\frac{2}{3}$，
解得：a=$\sqrt{6}$；
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{2}{3}$，∴sinA=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bc•sinA$=$\frac{1}{2}•3{c}^{2}•\frac{\sqrt{5}}{3}=\sqrt{5}$，得$c=\sqrt{2}$，
∴b=$3\sqrt{2}$，
由${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bc•cosA=18+2-2×3\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{2}{3}$=12，
得$a=2\sqrt{3}$，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得sinB=$\frac{b}{a}sinA=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，是中档题．