Question

17．设数列{a_n}的前项和为S_n，且{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差数列，已知a₁=1，$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+$\frac{{S}_{4}}{4}$=6，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前项和为T_n，求证：T_n＜2n+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式、递推关系即可得出；
（II）b_n=$\frac{n+1}{n+2}$+$\frac{n+2}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+2}$+1+$\frac{1}{n+1}$=2+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （Ⅰ）解：∵{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差数列，设公差为d，a₁=1，$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+$\frac{{S}_{4}}{4}$=6，
∴$3×\frac{{S}_{3}}{3}$=6，
∴$\frac{{S}_{3}}{3}$=2，
∴2=1+2d，解得d=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+$\frac{1}{2}×（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{（n-1）n}{2}$=n．
当n=1时也成立，
∴a_n=n．
（Ⅱ）证明：b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n+1}{n+2}$+$\frac{n+2}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+2}$+1+$\frac{1}{n+1}$=2+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前项和为T_n=2n+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=2n+$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$＜2n+$\frac{1}{2}$，
∴T_n＜2n+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．