Question

9．设α为锐角，且cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，tan（α+β）=$\frac{2}{5}$．
（1）求sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求tan（2β-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2（α+$\frac{π}{6}$）、cos2（α+$\frac{π}{6}$）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值．
（2）由条件求得tan（α+$\frac{π}{6}$）、tan（β-$\frac{π}{6}$）的值，再利用两角差的正切公式求得tan（2β-$\frac{π}{6}$）=tan2（β-$\frac{π}{6}$）的值

解答 解：（1）∵α为锐角，且cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，tan（α+β）=$\frac{2}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
sin2（α+$\frac{π}{6}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）=2•$\frac{\sqrt{10}}{10}$•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos2（α+$\frac{π}{6}$）=1-2${sin}^{2}（α+\frac{π}{6}）$=$\frac{4}{5}$，
故sin（2α+$\frac{π}{6}$）=sin[2（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin2（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos2（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{4}{5}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$．
（2）由（1）可得，tan（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{sin（α+\frac{π}{6}）}{cos（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{1}{3}$，
tan（β-$\frac{π}{6}$）=tan[（α+β）-（α+$\frac{π}{6}$）]=$\frac{tan（α+β）-tan（α+\frac{π}{6}）}{1+tan（α+β）•tan（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{\frac{2}{5}-\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{5}•\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{17}$，
∴tan（2β-$\frac{π}{3}$）=tan2（β-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2tan（β-\frac{π}{6}）}{1{-tan}^{2}（β-\frac{π}{6}）}$=$\frac{17}{144}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．