Question

19．已知函数f（x）=sin2x+2cos²x（x∈R），则f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，函数f（x）的最大值是1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 代值计算可得f（$\frac{π}{6}$），化简函数可得得f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），可得最值．

解答 解：∵f（x）=sin2x+2cos²x（x∈R），
∴f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$+2cos²$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2×$\frac{3}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$；
由三角函数公式化简可得f（x）=sin2x+2cos²x
=sin2x+1+cos2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最大值为1+$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$；1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的最值，属基础题．