Question

9．设椭圆E₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的两个顶点与两个焦点构成一个面积2的正方形，P是E₁上的动点，椭圆E₂：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（1）若椭圆E₂上的点Q满足：$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OP}$（λ＞0），求λ的最大值；
（2）设E₁在P处的切线为l，l与E₂交于A，B两点，求三角形OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的面积公式可得b=c=1，由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆方程，设直线OP的方程为y=kx（k＞0），分别代入两个椭圆方程，求得横坐标，再由向量的坐标表示，化简整理运用不等式的性质可得最大值；
（2）求得P处的切线的斜率和切线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得O到AB的距离，求得△ABO的面积，化简整理运用不等式的性质，可得最大值．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{1}{2}$•2b•2c=2，且b=c，
解得b=c=1，即有a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
设直线OP的方程为y=kx（k＞0），
代入椭圆x²+2y²=2，可得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，取x_P=$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，
代入椭圆x²+4y²=8，可得x²=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$．取x_Q=$\sqrt{\frac{8}{1+4{k}^{2}}}$，
由$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OP}$（λ＞0），可得λ=$\frac{{x}_{Q}}{{x}_{P}}$=2$\sqrt{\frac{1+2{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{\frac{1}{2-\frac{1}{1+2{k}^{2}}}}$≤2，当且仅当k=0时，λ取得最大值2；
（2）对椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1两边对x求导，可得x+2yy′=0，
设P（m，n），可得切线的斜率为k=-$\frac{m}{2n}$，
可得切线的方程为y-n=-$\frac{m}{2n}$（x-m），
由m²+2n²=2，可得mx+2ny=2，
代入椭圆x²+4y²=8，可得（n²+m²）x²-4mx+4-8n²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+{n}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4-8{n}^{2}}{{n}^{2}+{m}^{2}}$，
即有|AB|=$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{4{n}^{2}}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2{n}^{2}+2{m}^{2}-1}}{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
又O到直线的距离为d=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}}$，
即有三角形OAB面积为S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{2\sqrt{2{m}^{2}+2{n}^{2}-1}}{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
令m²+n²=t，1≤t≤$\sqrt{2}$，
即有S=2$\sqrt{\frac{2}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}$=2$\sqrt{-（\frac{1}{t}-1）^{2}+1}$，
当且仅当t=1，即P（0，±1）时，S取得最大值2．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用正方形的面积公式，考查向量共线的坐标表示，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，运用二次函数求最值，属于中档题．