Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，若（$\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$）=0，则|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|的最大值是$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角，求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的终点坐标，设$\overrightarrow{c}$的终点坐标为（x，y），利用向量垂直得出C的轨迹方程，转化为平面几何中的距离问题．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为45°．
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，O为坐标原点．则|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|=|BC|．
设A（$\sqrt{2}$，0），B（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），设C（x，y），
则$\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}$=（x-2$\sqrt{2}$，y），2$\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$=（3$\sqrt{2}$-3x，3$\sqrt{2}$-3y），
∵（$\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$）=0，∴（x-2$\sqrt{2}$）（3$\sqrt{2}$-3x）+y（3$\sqrt{2}$-3y）=0，
整理得：x²+y²-3$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y+4=0，即（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1．
∴点C的轨迹为以M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）为圆心，以r=1为半径的圆．
∴点B到圆心M的距离d=$\sqrt{2}$，
∴BC的最大距离为d+r=$\sqrt{2}+1$．即|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|的最大值为$\sqrt{2}+1$．
故答案为$\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查了平面向量运算的几何意义，使用坐标法计算是常用解题方法．