Question

7．已知函数f（x）对任意x∈（0，+∞），满足f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{2}{x}$-log₂x-3
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅲ）证明函数f（x）在区间（1，2）内有唯一零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可令$\frac{1}{x}=t，t∈（0，+∞）$，从而得出x=$\frac{1}{t}$，这便可得到f（t）=2t+log₂t-3，t换上x便可得出f（x）的解析式；
（Ⅱ）容易判断f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，根据对数函数的单调性证明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）容易求出f（1）＜0，f（2）＞0，而f（x）在（0，+∞）上又是单调函数，从而得出f（x）在区间（1，2）内有唯一零点．

解答 解：（Ⅰ）令$\frac{1}{x}=t，t∈（0，+∞）$，$x=\frac{1}{t}$，则：
$f（t）=2t-lo{g}_{2}\frac{1}{t}-3=2t+lo{g}_{2}t-3$；
∴f（x）的解析式为f（x）=2x+log₂x-3，x∈（0，+∞）；
（Ⅱ）f（x）为定义域（0，+∞）上的单调增函数；
证明：设x₁＞x₂＞0，则：
f（x₁）-f（x₂）=2x₁+log₂x₁-2x₂-log₂x₂=2（x₁-x₂）+（log₂x₁-log₂x₂）；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₁-x₂＞0，log₂x₁＞log₂x₂，log₂x₁-log₂x₂＞0；
∴2（x₁-x₂）+（log₂x₁-log₂x₂）＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）为定义域（0，+∞）上的单调增函数；
（Ⅲ）证明：f（1）=2•1+log₂1-3=-1＜0，f（2）=2•2+log₂2-3=2＞0；
又f（x）在（0，+∞）上为单调函数；
∴函数f（x）在区间（1，2）内有唯一零点．

点评 考查换元求函数解析式的方法，对数的运算，以及对数函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），以及函数零点的定义，函数零点个数的判断．