Question

平面内动点P到点F(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离，记点P的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)若点A，B，C是Γ上的不同三点，且满足＋＋＝0，证明：△ABC不可能为直角三角形．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）不可能是直角三角形

(1)由条件可知，点P到点F(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，所以点P的轨迹是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y²＝4x.
(2)证明：方法一，假设△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，
A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，则
＝(x₂－x₁，y₂－y₁)，＝(x₃－x₁，y₃－y₁)，且·＝0，
所以(x₂－x₁)(x₃－x₁)＋(y₂－y₁)(y₃－y₁)＝0.
因为x_i＝(i＝1，2，3)，y₁≠y₂，y₁≠y₃，
所以(y₁＋y₂)(y₁＋y₃)＋16＝0.
又因为＋＋＝0，所以x₁＋x₂＋x₃＝3，y₁＋y₂＋y₃＝0，
所以y₂y₃＝－16，①
又＋＋＝4(x₁＋x₂＋x₃)＝12，
所以(－y₂－y₃)²＋＋＝12，即＋＋y₂y₃＝6，②
由①②得＋－16＝6，即－22＋256＝0，③
因为Δ＝(－22)²－4×256＝－540<0.
所以方程③无解，从而△ABC不可能是直角三角形．
方法二，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，由＋＋＝0，
得x₁＋x₂＋x₃＝3，y₁＋y₂＋y₃＝0.欲证△ABC不是直角三角形，只需证明∠A≠90°.
(ⅰ)当AB⊥x轴时，x₁＝x₂，y₁＝－y₂，从而x₃＝3－2x₁，y₃＝0，
即点C的坐标为(3－2x₁，0)．
由于点C在y²＝4x上，所以3－2x₁＝0，即x₁＝，
此时A，B，C(0，0)，则∠A≠90°.
(ⅱ)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为x＝ty＋m(t≠0)，代入y²＝4x，整理得y²－4ty－4m＝0，则y₁＋y₂＝4t.
若∠A＝90°，则直线AC的斜率为－t，同理可得y₁＋y₃＝－.
由y₁＋y₂＋y₃＝0，得y₁＝4t－，y₂＝，y₃＝－4t.
由x₁＋x₂＋x₃＝3，可得＋＋＝4(x₁＋x₂＋x₃)＝12.
从而＋＋(－4t)²＝12，
整理得t²＋＝，即8t⁴－11t²＋8＝0，④
Δ＝(－11)²－4×8×8＝－135<0.
所以方程④无解，从而∠A≠90°.
综合(ⅰ)(ⅱ)可知，△ABC不可能是直角三角形．