Question

16．设已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，且S_n+S_n-1=ta_n²+2（n≥2，t＞0），a₁=1．求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 仿写另一个等式，两个式子相减得到数列的项的递推关系，利用等差数列的定义及等差数列的通项公式求得

解答 解：（1）S_n+S_n-1=ta_n²+2  （n≥2，t＞0）（1）
S_n-1+S_n-2=ta_n-1²+2（n≥3）（2）
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²），（n≥3），
∵数列{a_n}为正项数列，∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{t}$，（n≥3），
即数列{a_n}从第二项开始是公差为$\frac{1}{t}$的等差数列．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{n-1}{t}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的是数列通项公式的问题，在解答的过程当中充分体现了通项与前n项和的关系，属于基础题．