Question

4．等边△ABC的边长为2，且$3\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}，2\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{AD}$=-1．

Answer 1

分析 根据平面向量数量积的定义进行转化求解即可．

解答 解：$3\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}，2\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，即D是BC的中点，
则$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{AD}$=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AE}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=（-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{2}$[-$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$²+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$]
=$\frac{1}{2}$[-4+$\frac{2}{3}$×2²+$\frac{2}{3}$×2×2cos60°-2×2×cos60°]
=$\frac{1}{2}$（-4+$\frac{8}{3}$+$\frac{4}{3}$-2）=$\frac{1}{2}$×（-6+4）=-1，
故答案为：，-1

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量共线的基本定义以及向量加法和加法的运算法则进行转化是解决本题的关键．