Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点，
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF， 则DF=AB， ∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC， ∴四边形ABFD为正方形， ∵O为BD的中点， ∴O为AF，BD的交点， ∵PD=PB=2，PO⊥BD， ∵, ∴， 在三角形PAO中，， ∴PO⊥AO， ∵， ∴PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD， 又AB⊥AD， 所以过O分别做AD，AB的平行线， 以它们作x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：， ，， ， 则， ， ∴， ∴， ∵， ∴OE∥平面PDC； （Ⅲ）解：设平面PDC的法向量为， 直线CB与平面PDC所成角θ， 则，解得， 令， 则平面PDC的一个法向量为， 又， 则， ∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为。