Question

如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0＜a＜).

（1）求MN的长.

（2）当a为何值时，MN的长最小?

（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.

Answer 1

解析：为了求（1）中MN的长，根据图形特征，建立坐标系，写出的坐标形式，利用模公式求解.在（1）的基础上很容易求解（2），求解二面角时利用定义作出平面角，再用向量解决，也可用法向量求解.?

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由题设得?

A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0）.?

∵CM=BN=a,∴M(,0,1- a),N(,,0), =(0,,a-1).?

∴||=(0＜a＜).?

（2）由（1）知||=(0＜a＜).?

当a=时，||取得最小值，此时M、N分别是AC、BF的中点.?

（3）由（2）知,∵M、N分别为AC、BF的中点，?

∴AM=AN，BM=BN且M（，0，），N（，，0）.?

设MN的中点为O，则O（，，）且OA⊥MN，OB⊥MN.?

∴∠AOB为二面角A-MN-B的平面角，=（，-，-），=（-，-，-）.

∴·=，?

||=||=.?

∴cos∠AOB=.?

∴∠AOB=π-arccos,?

即二面角α的大小为π-arccos.