Question

已知在函数f（x）=ax³-x的图象上，以N（1，b）为切点的切线的倾斜角为45°．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1996对于x∈[-1，3]恒成立？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f′（x），然后把切点N的横坐标代入f′（x）表示出直线的斜率等于tan45°，得到关于a的方程，求出a的值，然后把N（1，b）代入到f（x）即可得到n的值；
（II）要使得不等式f（x）≤k-1996对于x∈[-1，3]恒成立，即要k≥f（x）_max+1993即要求出f（x）的最大值，从而得到满足题意k的最小的正整数解．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，得f'（1）=tan45°，即3a-1=1，a=

2

3

．
因为f（1）=b，所以b=-

1

3

．…..（4分）
（II）由（I）知f(x)=

2

3

x3-x．令f′(x)=2x2-1=0，得x=±

2

2

．
因为f(-1)=

1

3

，f(-

2

2

)=

2

3

，f(

2

2

)=-

2

3

，f(3)=15．
所以，当x∈[-1，3]时，f（x）的最大值为f（3）=15．…（8分）
要使得不等式f（x）≤k-1996对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1996=2011．
所以，存在最小的正整数k=2011，使得不等式f（x）≤k-1996对于x∈[-1，3]恒成立．
…（12分）

点评：考查学生会利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，理解函数恒成立时所取的条件，会利用导数求闭区间上函数的最大值，掌握直线倾斜角与斜率的关系．