Question

设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的通项公式为（），若，，（）成等差数列，求和的值；
（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列中的三项，，．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），，．
（Ⅲ）作如下构造：，，，其中，它们依次为数列中第项，第项，第，显然它们成等比数列，且，所以它们能组成三角形．
由的任意性，知这样的三角形有无穷多个．
用反证法证明其中任意两个和不相似

试题分析：（Ⅰ）由题意，①，当时，有②，
②-①，得，各项为正，，
从而，故成公差2的等差数列．又时，，解得．故．                                4分
（Ⅱ），要使，，成等差数列，须，
即，整理得，因为，为正整数，只能取2，3，5．故，，．                  10分
（Ⅲ）作如下构造：，，，其中，它们依次为数列中第项，第项，第，显然它们成等比数列，且，所以它们能组成三角形．
由的任意性，知这样的三角形有无穷多个．
下面用反证法证明其中任意两个和不相似：若∽，且，则，整理得，所以，这与矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故原命题正确．           16分
点评：基础题，首先利用的关系，确定得到的通项公式，进一步研究中项的关系。为证明，，能构成三角形，在明确表达式的基础上，应用了反证法。