Question

【题目】如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点，为椭圆的左焦点，椭圆的利息率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交抛物线于点，为抛物线上一动点，且在，之间移动.

（1）当取最小值时，求的值；

（2）若的边长恰好是三个连续的自然数，当的面积取最大值时，求面积最大值及此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）；

【解析】

（1）用表示出，，根据基本不等式得出的值，从而得出和的方程；

（2）用表示出椭圆方程，联立方程组得出点坐标，计算出△的三边关于的式子，从而确定的值，求出的距离和到直线的距离，利用二次函数性质得出面积的最大值，即可求得直线的方程．

解：（1）因为，，则，，

所以当取最小值时，，又因为，所以.

（2）因为，，则，，设椭圆的标准方程为.

设，，由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，

于是，，，又因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以.此时抛物线方程为，，，则直线的方程为.联立，得或（舍去），于是，所以，

设（）到直线的距离为，则，当时，，所以的面积的最大值为.此时.