Question

如图，平面，是矩形，，点是的中点，点是边上的动点.

（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点在边的何处，都有.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）与平面平行；（Ⅲ）证明见解析．

试题分析：﹙Ⅰ﹚将为高，为底面可根据条件直接求得体积；（Ⅱ）根据三角形的中位线的性质及线面平行的判定性质易判断为的中点时，有与平面平行；（Ⅲ）根据条件只须证明平面，进而转化为证明与即可，
试题解析：（Ⅰ）解：∵⊥平面，为矩形，
∴．
（Ⅱ）与平面平行．
当为中点时，为的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面．
（Ⅲ）证明：∵，为的中点，∴，
∵平面，∴，
又，∴平面，
又平面，∴，
又，∴平面，
因无论点在边的何处，都有平面，∴．