Question

3．设A，B为n阶方阵，满足A+B=AB．若B=$（\begin{array}{l}{1}&{-3}&{0}\\{2}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{array}）$，求矩阵A．

Answer 1

分析 首先由AB=A+B知（A-E）（B-E）=E，从而A-E可逆再由（A-E）（B-E）=E，由丨B-E丨=$|\begin{array}{l}{0}&{-3}&{0}\\{2}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}|$=3≠0，矩阵B-E可逆，求得B-E的逆矩阵，∴A=（B-E）^-1+E即可求得A．

解答 解：∵AB=A+B，
∴（A-E）（B-E）=E，
丨B-E丨=$|\begin{array}{l}{0}&{-3}&{0}\\{2}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}|$=3≠0，
∴矩阵B-E可逆，
（B-E）^-1=$\frac{1}{丨A丨}$×$|\begin{array}{l}{0}&{3}&{0}\\{-2}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{6}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{0}&{\frac{1}{2}}&{0}\\{-\frac{1}{3}}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}|$，
∵（B-E）^-1=A-E，
∴A=（B-E）^-1+E=$|\begin{array}{l}{1}&{\frac{1}{2}}&{0}\\{-\frac{1}{3}}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{array}|$．

点评 本题考查三阶矩阵，考查矩阵求逆的方法，考查矩阵矩阵可逆的充要条件，考查计算能力，属于中档题．