Question

8．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则其相邻两侧面所成的二面角的余弦值是0．

Answer 1

分析 作SO⊥底面ABC，垂足为O，取AB中点D，BC中点E，以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出邻两侧面所成的二面角的余弦值．

解答 解：如图，正三棱锥S-ABC中，作SO⊥底面ABC，垂足为O，
取AB中点D，BC中点E，连结CD、SD、OE，则O∈CD，
∵正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos$∠SDO=\frac{OD}{SD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设OD=$\sqrt{3}$，则SD=3，CD=3$\sqrt{3}$，AB=6，SA=3$\sqrt{2}$，PO=$\sqrt{6}$，
以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，
则S（0，0，$\sqrt{6}$），A（$\sqrt{3}$，-3，0），B（$\sqrt{3}$，3，0），C（-2$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{SA}$=（$\sqrt{3}，-3，-\sqrt{6}$），$\overrightarrow{SB}$=（$\sqrt{3}，3，-\sqrt{6}$），$\overrightarrow{SC}$=（-2$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{6}$），
设平面SAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=\sqrt{3}x-3y-\sqrt{6}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=\sqrt{3}x+3y-\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，0，1），
设平面SAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SA}=\sqrt{3}a-3b-\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SC}=-2\sqrt{3}a-\sqrt{6}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-2），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2+0-2=0，
∴相邻两侧面垂直，
∴相邻两侧面所成的二面角的余弦值是0．
故答案为：0．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．