Question

8．已知关于x的不等式x²+px+q＜0的解集是-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{3}$，求不等式qx²+px+1＜0的解集．

Answer 1

分析 根据题意知-$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{3}$可看作方程x²+px+q的两个根，从而能求出p，q的值，代入qx²+px+1＜0，即可求出不等式的解集．

解答 解：由已知得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{1}{3}$是方程x²+px+q=0的根，
∴-p=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{6}$，q=-$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{6}$，
∴p=$\frac{1}{6}$，q=-$\frac{1}{6}$，
∴不等式qx²+px+1＜0，
即-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{6}$x+1＜0，
∴x²-x-6＞0，
∴x＜-2或x＞3．
∴不等式qx²+px+1＜0的解集为（-∞，-2）∪（3，+∞）．

点评 本题考查一元二次不等式的解法，关键是知道不等式的解集和方程的解之间的联系，是中档题．