Question

13．已知直线l过点P（0，-4），且倾斜角为$\frac{π}{4}$，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）求直线l的参数方程和圆C的直角坐标方程；
（2）若直线l和圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|及弦长|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{4}}\\{y=-4+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t为参数），化简即可得出．圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式即可得出圆C的直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入圆C的方程，化简得${t}^{2}-6\sqrt{2}t$+16=0，利用根与系数的关系及其：|PA|•|PB|=|t₁t₂|，弦长|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{4}}\\{y=-4+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t为参数），即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为：x²+y²=4x．
（2）把直线l的参数方程代入圆C的方程，化简得${t}^{2}-6\sqrt{2}t$+16=0，
△＞0，∴t₁t₂=16，t₁+t₂=$6\sqrt{2}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=16，
弦长|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{72-64}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、直线与圆相交弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．