Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E为棱CC₁上的动点．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当E为棱CC₁的中点时，求直线A₁E与平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱的结构特征

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）连AC，设AC∩BD=O，连A₁O，OE．由已知条件推导出BD⊥面ACEA₁．由此能证明A₁E⊥BD．
（2）由已知条件推导出∠A₁OE为二面角A₁-BD-E的平面角．∠EA₁O是直线A₁E与平面A₁BD所成角．由此能求出直线A₁E与平面A₁BD所成角的正弦．

解答： （1）证明：连AC，设AC∩BD=O，连A₁O，OE．
由A₁A⊥面ABCD，知BD⊥A₁A，又BD⊥AC，
故BD⊥面ACEA₁．
由A₁E?面ACEA₁，得A₁E⊥BD．
（2）解：在正△A₁BD中，BD⊥A₁O，而BD⊥A₁E，
又A₁O?面A₁OE，A₁E?平面A₁OE，且A₁O∩A₁E=A₁，
故BD⊥面A₁OE，于是BD⊥OE，∠A₁OE为二面角A₁-BD-E的平面角．
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设棱长为2a，且E为棱CC₁的中点，
由平面几何知识得EO=

3

a，A1O=

6

a，A₁E=3a，
满足A1E2=A1O2+EO2，故EO⊥C₁O．
由EO⊥BD，知EO⊥面A₁BD，
故∠EA₁O是直线A₁E与平面A₁BD所成角．
又sin∠EA₁O=

EO

A1E

=

3

3

，
故直线A₁E与平面A₁BD所成角的正弦是

3

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面甩成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．