Question

已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形. （12分）

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，若线段的垂直平分线经过点，求

（为原点）面积的最大值.

Answer 1

 （1）∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，

∴， ∴，             2分

又∵椭圆经过点，代入可得，

∴故所求椭圆方程为                  4分

(2)设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率，

当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴，此时

所以，因为，所以

所以，当且仅当时，取得最大值为，      6分

当直线的斜率不为时，则设的方程为

所以，代入得到          

当,    即                           

方程有两个不同的解又，          

所以，又，化简得到     -----8分

代入，得到               

又原点到直线的距离为

所以

考虑到且化简得到               10分

因为，所以当时，即时，取得最大值.

综上，面积的最大值为             12分